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Jorge Orestes Cerdeira, Inst. Sup. Agronomia, 2005 Def. Uma sucess˜ao (num´erica) ´e uma aplica¸c˜ao de N (N0) em R.
 n = an−1 + an−2 an = n, an = (−1)n, an = 1 , Se `a medida que n aumenta os termos da sucess˜ao se aproximam de um n´umero a, diz-se que a ´e o limite da sucess˜ao. Mais precisa- Diz-se que a ∈ R ´e o limite da sucess˜ao an, e escreve-se a = lim an ou an → a, se ∀δ > 0, ∃p : n > p, |an − a| < δ.
Ex. an = 1 → 0. De facto, | 1 − 0| = 1 < δ ⇔ n > 1.
. Para n > 1 tem-se | 1 − 0| < δ.
an = 2n+1 → 2. De facto, |2n+1 − 2| = |2n+1−2n−2| = 1 < δ ⇔ n + 1 > 1 ⇔ n > 1 − 1.
. Para n > 1 − 1 tem-se |a lim an = a sse lim (an − a) = 0.
Se an tem limite e an ≥ 0, ∀n ∈ N, ent˜ao lim an ≥ 0.
Def. Diz-se que a sucess˜ao an tem limite +∞ ou que tende para +∞, e escreve-se lim an = +∞ ou an → +∞, se ∀M > 0, ∃p : an = (3)n → +∞. De facto, (3)n > M > 0 ⇔ n log 3 > log M ⇔ n > log M .
. Para n > log M tem-se (3)n > M.
lim an = −∞ se lim −an = +∞.
lim an = ∞ se lim |an| = +∞.
Obs. Se a sucess˜ao an ´e de termos n˜ao nulos, an → ∞ sse 1 → 0.
Uma sucess˜ao ´e convergente se tiver limite finito. Caso Teor. (Unicidade do limite) O limite de uma sucess˜ao convergente Suponha que an → a e an → a .
an → a ⇔ ∀δ > 0, ∃p : |an − a| < δ, para n > p.
an → a ⇔ ∀δ > 0, ∃p : |an − a | < δ, para n > p .
Para n > max{p, p }, tem-se |an − a| < δ, e |an − a| + |an − a | < 2δ |an − a − an + a | < 2δ ⇓ (como δ ´e ∀ > 0) Uma sucess˜ao ´e limitada se fˆor majorada (∃M ∈ R : an ≤ M, ∀n ∈ N) e minorada (∃m ∈ R : an ≥ m, ∀n ∈ N).
Obs. an ´e limitada sse |an| ≤ L, ∀n ∈ N.
Teor. Toda a sucess˜ao convergente ´e limitada.
Obs. Nem toda a sucess˜ao limitada ´e convergente. (−1)n ´e limi- (Sucess˜oes enquadradas) Se yn, zn → a e yn ≤ an ≤ zn, a partir de uma certa ordem, ent˜ao an → a.
Ex. 0 ≤ n ≤ n = 1 → 0.
(Sucess˜oes enquadradas) Se yn → +∞ e yn ≤ an, a partir de uma certa ordem, ent˜ao an → +∞.
= n2 + n2 + · · · + n2 ≥ n3 → +∞.
Def. A sucess˜ao an ´e crescente se an+1 ≥ an, ∀n ∈ N.
A sucess˜ao an ´e decrescente se an+1 ≤ an, ∀n ∈ N.
Toda a sucess˜ao crescente e limitada converge para o supremo do conjunto dos seus termos.
Toda a sucess˜ao decrescente e limitada converge para o ´ınfimo do Demonstra-se a 1a¯ parte do Teorema.
Considere uma sucess˜ao an crescente e limitada, e s = sup{an}, i.e., an ≤ s, ∀n ∈ N e ∀δ > 0, ∃p ∈ N : ap > s − δ.
Como a sucess˜ao ´e crescente, para n ≥ p tem-se an ≥ ap > s − δ, de onde se conclui que s − an = |an − s| < δ, i.e., s = lim an. ✷ Ex. Prove que a sucess˜ao an definida da seguinte forma: a1 = 1, (i) an+1 − an = 1(a2 (ii) Vejamos por indu¸c˜ao que an ≤ 1, ∀n ∈ N.
Admitindo que an ≤ 1, an+1 = 1(a2 Podemos pois concluir que an ´e convergente. Se pretender determi- nar a = lim an, pode utilizar a recorrˆencia an+1 = 1(a2 deduzir a = 1(a2 + 1) ⇔ a2 − 2a + 1 = 0 ⇔ (a − 1)2 = 0 ⇔ a = ±1 e, uma vez que an ≥ 0, ∀n ∈ N, concluir que lim an = 1.
Teor. Toda a sucess˜ao crescente e n˜ao majorada tende para +∞.
Toda a sucess˜ao decrescente e n˜ao minorada tende para −∞.
Uma s´erie (num´erica) ´e um par de sucess˜oes num´ericas an, sn, em que sn = a1 + a2 + · · · + an = an ´e a sucess˜ao dos termos da s´erie, sn ´e a sucess˜ao das somas parciais e a s´erie representa-se por a1 + a2 + · · · + an + . . . , ou an ´e convergente se a sucess˜ao sn = somas parciais ´e convergente. O lim sn = s ´e a soma da s´erie e ai ´e divergente diz-se que a s´erie Chama-se geom´etrica uma s´erie do tipo raz˜ao da s´erie. (. an = rn e sn = ri, n = 0, 1, 2, . . . .) sn = 1 + r + r2 + · · · + rn rsn = r + r2 + r3 + · · · + rn+1 sn = 1−rn+1 , r = 1.
1. Se |r| < 1 ⇒ rn+1 → 0 ⇒ sn → 1 .
2. Se |r| > 1 ⇒ rn+1 → ∞ ⇒ sn → ∞.
3. Se r = −1 ⇒ sn = 1−(−1)n+1 = ri = 1 + 1 + · · · + 1 = n + 1 → ∞.
S´eries redut´ıveis ou de Mengoli.
an ´e redut´ıvel ou de Mengoli se existe uma sucess˜ao un tal que an = un − un+k.
Se k = 1, tem-se sn = a1 + a2 + · · · + an−1 + an = (u1 − u2) + (u2 − u3) + · · · + (un−1 − un) + (un − un+1) = u1 − un+1.
1. Se un converge, ent˜ao sn converge para u1 − lim un e an = u1 − lim un.
2. Se un diverge, ent˜ao sn diverge e ´e uma s´erie redut´ıvel pois a un − un+1, com un = 1 .
sn = 1+1+ 1 + 1 +· · ·+ 1 = (1−1)+(1−1)+(1−1)+· · ·+( 1 − 1 ) = = 1 + 1 +· · ·+ 1 ≥ n 1 = 1.
Se sn fosse convergente, lim s2n = lim sn, o que implica lim(s2n − sn) = 0, em contradi¸c˜ao com o facto de s2n − sn ≥ 1, ∀n ∈ N.
(an + bn) ´e convergente e an ´e convergente, ent˜ao, para λ ∈ R, an ´e convergente, ent˜ao lim an = 0.
ai → s. Como an = sn−sn−1, lim an = s−s = (−1)n s˜ao s´eries divergentes.
4. A natureza de uma s´erie n˜ao ´e alterada pela modifica¸c˜ao de an, com an ≥ 0, ∀n ∈ N.
A sucess˜ao das somas parciais de uma s´erie de termos n˜ao (i) crescente (sn+1 − sn = an+1 ≥ 0, ∀n ∈ N), e (ii) ´e majorada sse a s´erie ´e convergente.
= 1 + 1 + 1 + · · · + 1 ≤ 1 + 1 + 1 + · · · + 1 = 1−(12 2 − (1)n−1 ≤ 2. Como s Decorre directamente da monotonia da sucess˜ao das somas par- Teor. Uma s´erie de termos n˜ao negativos tem soma finita ou +∞.
Teor. (Crit´erio geral de compara¸c˜ao) (i) Se 0 ≤ an ≤ bn, ∀n ∈ N e a s´erie 0 ≤ an ≤ bn, ∀n ∈ N ⇒ 0 ≤ Como An ´e crescente e majorada por b, An converge para a ≤ b.
(ii) Se 0 ≤ an ≤ bn, ∀n ∈ N e a s´erie an diverge, como an ≥ 0, tem-se an = +∞, i.e., An = ai → +∞. Como An ≤ Bn = bi, tem-se Bn → +∞, i.e., 1 (harm´onica) diverge e 0 ≤ 1 ≤ 1 Teor. (2o¯ crit´erio de compara¸c˜ao) Se a sucess˜ao an (a tem limite finito e positivo, as s´eries Se c = lim an > 0, ∃ > 0 : 0 < c − < an < c + , ∀n > p, i.e., 0 < bn(c − ) < an 0 < an < bn(c + ), ∀n > p 0 < bn(c − ) < an 0 < an < bn(c + ), ∀n > p = (n+1)2 → 1. Uma vez que Chama-se s´erie de Dirichlet uma s´erie do tipo Para 0 < α ≤ 1, tem-se 1 ≤ 1 e como a s´erie Para α ≥ 2, tem-se 1 ≤ 1 e como a s´erie 1 ´e convergente sse α > 1.
positivos. Se a sucess˜ao an+1 tem limite (finito ou infinito), (i) se lim an+1 < 1, a s´erie (ii) se lim an+1 > 1, a s´erie Para provar (i) considere c < 1 e r ∈ R tal que c < r < 1.
Como c = lim an+1 < r, existe uma ordem p tal que, para n > p, an+1 < r = rn+1 = bn+1, com b n = rn. Tem-se pois, para n > p, an+1 < bn+1 ⇔ an+1 < an, i.e., a sucess˜ao an ´e decrescente a partir da ordem p e portanto se n > p, an ≤ ap+1 , o que implica a bn = rn ´e uma s´erie geom´etrica de raz˜ao 0 < r < 1, a s´erie Para provar (ii) note que se lim an+1 > 1, existe uma ordem p tal que, para n > p, an+1 > 1 ⇔ a n+1 > an, i.e., a sucess˜ crescente a partir da ordem p, e consequentemente an → 0, o que (n+1)! = 2 → 0 < 1 e portanto Quando lim an+1 = 1, nada se pode concluir directamente desta igualdade relativamente `a natureza da s´erie lim n+1 = n = 1, tal como lim (n+1)2 = negativos. Se a sucess˜ao n an tem limite (finito ou infinito), (ii) se lim n an > 1, a s´erie Para provar (i) considere c < 1 e r ∈ R tal que c < r < 1.
Como c = lim n an < r, existe uma ordem p tal que, para n > p, geom´etrica de raz˜ao 0 < r < 1, a s´erie Para provar (ii) note que se lim n an > 1, existe uma ordem p tal que, para n > p, n an > 1 ⇒ an > 1, e consequentemente an → 0, Quando lim n an = 1, nada se pode concluir directamente desta igualdade relativamente `a natureza da s´erie (n+1)n ´e divergente, a s´erie 1 ´e convergente e n (n+1)n = → 1, tal como n 1 = ( 1 ) 1 S´eries de termos sem restri¸c˜oes de sinal Vamos agora estudar s´eries com, eventualmente, um n´umero in- finito de termos positivos e negativos.
Teor. (Crit´erio de Dirichlet) Se a sucess˜ao das somas parciais da bn ´e limitada e an ´e uma sucess˜ao decrescente com limite Ex. Qual ´e a natureza da s´erie 1 + 1 − 1 − 1 + 1 + 1 − 1 − . . . ? bn = 1 + 1 − 1 − 1 + 1 + 1 − 1 − . . . e an = 1 , a s´erie dada bnan, que ´e convergente pois a sucess˜ao das somas parciais da bn ´e limitada (s´o toma os valores 0, 1 ou 2) e a sucess˜ao an = 1 → 0 e ´e decrescente.
Uma s´erie diz-se alternada se os seus termos s˜ao alternada- Ex. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · = (−1)n(2)n s˜ao exemplos de s´eries alternadas.
Obs. Uma s´erie alternada pode ser escrita na forma (−1)n+1an, com an > 0, ∀n ∈ N.
Do crit´erio de Dirichlet decorre directamente o seguinte resultado.
Teor. (crit´erio de Leibniz) Se an ´e uma sucess˜ao decrescente com (−1)n+1an s˜ao convergentes.
an diz-se absolutamente convergente se a s´erie cos n ´e abolutamente convergente? |cos n|. Como 0 ≤ |cos n| ≤ 1 e |cos n| ´e convergente e portanto Teor. Toda a s´erie absolutamente convergente ´e convergente.
−cn s˜ao convergentes pois, para todo o n ∈ N, 0 ≤ bn ≤ |an|, 0 ≤ −cn ≤ |an| e |an| converge. A convergˆencia das −cn garante a convergˆencia (de cn) e, uma vez que an = bn + cn, tem-se assegurada a convergˆencia an, como se pretendia provar. ✷ Obs. O rec´ıproco do Teorema anterior ´e falso. A s´erie harm´onica (−1)n+1 1 converge e a harm´onica |(−1)n+1 1 | ´e divergente. Diz-se que uma s´erie nestas condi¸c˜oes ´e simplesmente

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