Mathematik.tu-darmstadt.de

Detta är en kortfattad sammanfattning över de (i mitt tycke) viktigaste och användbaraste momenten iendimensionell analys. Anteckningarna är avsedda som stöd till mitt minne och de är inte tänkta att varafullständigt kursmaterial! Alla sidnummer refererar till 5:e upplagan av Adams, Calculus.
• Den informella definitionen av gränsvärde, enkelsidigt resp. dubbelsidigt, dvs vad “betyder” där a, A ∈ R ∪ {∞} (63-64). Att kunna den formella ε, δ - definitionen är bra men inte nödvändigt.
• Definitionen av asymptot till en funktion (72).
• Definition av kontinuitet. Informellt och formellt med ε, δ (79-80).
1.2. Bra att kunna: Räkneregler för gränsvärden. För kontinuerliga funktioner f och g gäller nedanstående.
Låt lim f (x) = A, lim g(x) = B då gäller h(x) = f (x) ± g(x) ⇒ lim h(x) = A ± B h(x) = f (x) ⇒ lim h(x) = A om B = 0.
Instängning: Om f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) samt lim f (x) = lim g(x) = A, då är lim h(x) = A.
Olikhet: f (x) ≤ g(x) ⇒lim f (x) ≤ lim g(x). OBS: ” < ” kan över gå i ” ≤ ”.
Sammansättning: Om limx→a f (x) = b och limy→b g(y) = A då blir limx→a g( f (x)) = g(limx→a f (x)) =limy→b g(y) = A.
Trick med konjugering: Ibland kan gränsvärden av typen 0 beräknas genom att förlänga med nämnarens konjugat, dvs konjugat enligt: (a − b)(a + b) = a2 − b2.
1.3. Standardgränsvärden. Bör memoreras och vid behov kunna härledas (eventuellt med hjälp avsenare metoder, ex. Taylorserier etc.): Andra standardgränsvärden härleds enkelt mha t.ex. Taylorutvecklingar, exempelvis lim 1.4. Bra att kunna om kontinuerliga funktioner.
• Sammansättning av kontinuerliga funktioner ger en kontinuerlig funktion. (81)• Max-Min satsen: En kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat interval antar ett största och minsta värde där. Dvs om f är kontinuerlig i [a, b] så finns x0, x1 ∈ [a, b] s.a. f (x0) ≤ f (x) ≤ f (x1),∀x ∈ [a, b]. (83) • Satsen om mellanliggande värden: Om f är kontinuerlig i [a, b] och f (a) = x0, f (b) = x1 så gäller för varje tal x mellan x0 och x1 att ∃c ∈ [a, b] s.a. f (c) = x. (85) • Utvidgning. Om f (x) är definierad för alla x = x0 men limx→x f (x) = A så kan man definiera f så att den blir kontinuerlig i x0 genom att sätta f (x0) = A.
Lämpliga problem: (sid. 95) 9-14,25-30, 31-38. Challenging problems: (sid. 96) 2-5.
• Derivatans definition: både i termer av tangenten, och som gränsvärde, dvs: – tangenten till en deriverbar funktion f i punkten x0 har ekvationen: y = f (x0)+ f (x0)(x−x0) • Derivator av de elemntära funktionerna (dvs potenser, trigonometriska funktioner, logaritmer etc.) 2.2. Deriveringsregler. Om f och g är deriverbara funktioner och a, b konstanter gäller: • h(x) = a · f (x) + b · g(x)⇒ h (x) = a · f (x) + b · g (x)• h(x) = f (x)g(x) ⇒ h (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) • h(x) = f (x) ⇒ h (x) = f (x)g(x)− f (x)g (x) (g(x) = 0) vilket även ger ett specialfall • h(x) = 1 ⇒ h (x) = − f (x) .
h(x) = f (g(x)) ⇒ h (x) = f (g(x)) · g (x).
alternativt kan man minnas denna genom Leibniz’ notation, med u = g(x) och y = f (u) = f (g(x)),då blir • Medelvärdessatsen: (s133) Om f är kontinuerlig i [a, b] och deriverbar i ]a, b[ då finns det en En annan formulering är att det finns en punkt c ∈ [a, b] s.a. tangenten till f i c är parallell medden räta linjen genom (a, f (a)) och (b, f (b)).
• Rolles sats: (s137) Ett specialfall av medelvärdessatsen ovan får vi om f (a) = f (b), då finns nämligen en punkt c ∈ [a, b] s.a. f (c) = 0.
• Implicit derivering. (avsnitt 2.9) Om vi istället för en funktion f (x) = y har ett samband mellan x och y som kan skrivas som F(x, y) = 0 där F är en funktion av två variabler. Vi kan nu få ut enderivata av y beroende på x genom implicit derivering av uttrycket F(x, y) = 0.
Exempel: En cirkel ges av F(x, y) = x2 + y2 − 1 = 0 och implicit derivering med avseende på xger Review exercises (s171) 1-32 (utom 11 eftersom sec är en löjlig funktion) och 35-36.
Challenging problems (s172) 2,3 och 4.
Undersök om derivatan f (x) är kontinuerlig för x = 0 (040527:10).
Bestäm ekvationen för tangentlinjen till kurvan y = 1 i punkten (−1, 1), samt ekvationen för tangentlinjen till kurvan y = ln x i punkten ( 1 , −1). Bestäm också skärningspunkten mellan dessa bägge tangentlinjer (040316:1).
Låt f vara en funktion definierad i en punkt x = a och dess omgivning samt deriverbar isamma punkt. Beräkna OBS: L’Hôpitalregeln får ej användas! (030527:7) (av 14).
• Definitionen av inversen till en funktion f , f −1, dvs y = f (x) ⇔ x = f −1(y).
• Samband mellan existens av invers och att f är en bijektion (1-1 avbildning).
• Om f : A → B inte är 1-1 kan man (eventuellt) betrakta en restriktion av f , dvs f : A → f (A ) är • Derivatan av en invers funktion: d f −1(x) = • Åtminstone en definition av den naturliga logaritmen, e.g ln |x| = R x 1 dt.
• Sambandet mellan logaritmen och exponentialfunktionen, ln x = y ⇔ x = ey, dvs ln x är inversen • Det är bra att förstå hur sambandet ovan relaterar räknereglerna för logaritmer med räknereglerna • Viktiga exempel på inversa funktioner att känna till är de Inversa trigonometriska funktionerna, arcsin (sin−1), arccos (cos−1) och arctan (tan−1). Man bör känna till hur dessa konstruerasgenom restriktioner av de vanliga funktionerna, sin−1 x = y där sin y = x och y ∈ [− π , π ].
rx, eller formellt så gäller för varje a > 0 att: • Derivatorna av de inversa trigonometriska funktionerna: Review excersises (p.230): 1-7, 11-14.
Låt f (x) = arctan x+a , där a är en konstant (030527:1).
• Definitioner av globala och lokala maxima och minima. Vad är skillnaden?• Existens av globala extremvärden: Sats: Om f är kontinuerlig och är definierad på ett slutet, begränsat interval [a, b] då har f bådeglobalt maximum och globalt minimum på detta intervall.
• x0 ∈ D( f ) kallas: en kritisk punkt om f (x0) = 0, en singulär punkt om f (x0) ej är definierat och en ändpunkt om x0 inte är en inre punkt till D( f ) (dvs ligger inte i något öppet intervall inutiD( f )).
Sats: Om f är definierad på ett intervall I och f har ett lokalt extremvärde i x0 ∈ I då måste x0vara entingen en kritisk punkt, en singulär punkt eller en ändpunkt till I.
• För att hitta extremvärden gör man lämpligen ett teckenstudium av f och f . För att ta reda på vilka punkter som är globala extremvärden jämför man helt enkelt funktionsvärdet på alla kritiskapunkter och ändpunkter.
• Om f inte är definierad på ett slutet, begränsat interval får man även undersöka gränsvärdena i ändpunkterna. Och det är då inte säkert att det finns några extrempunkter. (T.ex. f (x) = x påI =]0, ∞[.) Lämpliga uppgifter: (sid. 246) 1-4,28-31 4.2. Konkavitet och inflexionspunkter.
• Def: f som är deriverbar i ett intervall I sägs vara konkav upp om f är växande och konkav ned om f är avtagande på I.
Not: På svenska är “konkav upp”=konvex och “konkav ned”=konkav.
• Def: x0 sägs vara en inflexionspunkt för en funktion f om f har en tangent i x0 och f byter Om f (x) > 0 på I då är f konkav upp där.
Om f (x) < 0 på I då är f konkav ned där.
Om f har en inflexionspunkt i x0 och f (x0) existerar då är f (x0) = 0.
• Andraderivatatestet för att bestämma om man ha max eller min: Om f (x0) = 0 och f (x0) < 0, då har f ett lokalt maximum i x0.
Om f (x0) = 0 och f (x0) > 0, då har f ett lokalt minimum i x0.
Om f (x0) = 0 och f (x0) = 0, då kan man inte säga någonting säkert.
Lämpliga uppgifter: (sid. 251-252) 1-4, 24-27 • Asymptoter finns i tre varianter: Vertikala, horisontella samt sneda.
• Checklista för kurvskissering: Beräkna f och f och uttryck dem i faktorform (för att lätt hitta asymptoter) Undersök f (x) för att hitta definitionsmängden samt följande:(a) Vertikala asymptoter (nollställen för nämnare) Horisontella och sneda asymptoter (betrakta limx→± f (x)) Symmetrier (udda/jämna, eller symmetri kring någon linje) Titta efter enkla punkter att beräkna, t.ex. skärningar med koordinataxlaro.d.
Punkter där f ej är definierad (inkluderar singulära punkter, ändpunkteroch vertikala asymptoter).
Intervall där f är positiv eller negativ (teckentabell).
Punkter där f (x) är odefinierad (inkluderar singulära punkter, ändpunk-ter, vertikala asymptoter samt eventuella andra punkter där f är definieradmen inte f ).
Intervall där f (x) är positiv eller negativ (konkavitet, använd teckentabell) Lämpliga uppgifter: (sid. 261-262) 1,3,5,7-9 4.4. Extremvärdesproblem. Att lösa extremvärdesproblem Uttryck den kvantitet Q som ska maximeras som en funktion av lämpliga variabler Om Q beror på fler än 1 variablel måste du hitta smaband mellan dessa variabler så att tillslut Q enbart beror av en enda variabel (annars blir det flerdim istället).
Bestäm vilka intervall variabeln måste ligga i för att vara relevant (en längd ska vara positivetc.) Hitta extremvärdet av Q med samma tekniker som tidigare. Var noga med att du verkligenhittar den typ av extremvärde du ska.
Se till att det svar du kommer fram med är relevant, gå annars tillbaka.
Lämpliga uppgifter: (sid. 269-271) 2,3,7,8 • Om f (x) är deriverbar n gånger kring a så definierar man Taylor Polynomet till f av grad n som: • Taylors sats: f (x) = Pn(x) + En(x), där En(x) = f (n+1)(ζ)(x − a)n+1, där om det är så att | f (x)| ≤ K|u(x)| för någon konstant K gäller i en omgivning av a.
• Vanligaste exemplet: I Taylors sats har vi f (x) = Pn(x) + O((x − a)n) då x → a.
• Räkneregler: Antag att f (x) = O(u(x)) och g(x) = O(u(x)) då gäller: Om f (x) = O(u(x)v(x)) så gäller f (x) = O(u(x)).
• Specifikt exempel: O(xm)O(xn) = O(xm+n), O(xm) = O(xm−n), O(xm) + O(xn) = O(xmin(m,n)) då • Entydighet i Taylors sats: Om f (x) = Qn(x) + O((x − a)n+1) då x → a, då är Qn(x) = Pn(x).
4.6. Standardutvecklingar. I en omgivning kring 0 gäller: = 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + O(xn+1) ex = 1 + x + x2 + · · · + xn + O(xn+1) ln(1 + x) = x − x2 + x3 · · · + (−1)n+1 xn + O(xn+1), |x| < 1.
(1 + x)α = 1 + αx + α(α−1) x2 + α(α−1)(α−2) x2 + · · · + α(α−1)···(α−n+1) xn + O(xn+1) sin x = x − x3 + x5 + · · · + (−1)n x2n+1 + O(x2n+3) cos x = 1 − x2 + x4 + · · · + (−1)n x2n + O(x2n+2) arctan x = x − x3 + x5 + · · · + (−1)n x2n+1 + O(x2n+3) Ett bra trick (som i alla fall kan spara lite tid) är l’Hôpitals regel: x→a f (x) = limx→a g(x) = 0 eller ±∞, och limx→a OBS: För att l’Hôpitals regler ska gälla måste gränsvärdet vara indefinit.
Bestäm först konstanten a så att funktionen f (x) = (4x + a)e−x2 får ett lokalt extremvärde förx = 2. Bestäm sedan för detta a−värde funktionens samtliga lokala och globala extremvär-den. (040527:2 (av 10)) a) Bestäm en polynomfunktion av lägsta möjliga gradtal med följande egenskaper: • funktionen har en maximipunkt för x = 3,• funktionen har en terasspunkt för x = 0.
b) Undersök om den funktion du fick fram i a) har några inflexionspunkter.
Tangenten till kurvan y = ex i punkten x = a, där a < 1, skär negativa x−axeln i en punkt Aoch positiva y−axeln i en punkt B. Bestäm a så att arean av triangeln ABO, där O är origoblir så stor som möjligt (030527:13) (av 14).
existerar. Bestäm även gränsvärdet. (040527:1c).
Bestäm alla asymptoter till f (x) = x + 2 ln x+1 − 1 (030527:3) 5.1. Allmänt om integraler. Man bör komma ihåg att man kan beräkna arean under en kurva med hjälpav summor, dvs Area under f (x) = lim ∑ f (xj)∆xj.
Och att detta till slut leder till definitionen av Riemann integral med hjälp av övre och undre Riemannsumma.
Framförallt är denna definition bra att komma ihåg då man vill beräkna vissa summor som man då kan sesom integraler, och man har dessutom olika integralolikheter för summor De flesta av integralens viktiga egenskaper är uppenbara om man tolkar den som en area under en kurva,av de som inte är lika uppenbara är: f (x)dx = f (c), något. c ∈ [a, b].
Värt att notera är också att eftersom integraler över intervall av längd 0, dvs R a f (x)dx = 0 så förändras inte värdet av en integral R b f (x)dx om man definierar om f i enstaka punkter.
Mycket viktigt att kunna är Analysens fundamentalsats: Antag att f är kontinuerlig i ett interval I som innehåller a.
DEL I så är F deriverbar i intervallet I, och F (x) = f (x).
om G(x) är en godtycklig antiderivata till f (dvs G = f ) i I så gäller för b ∈ I att En följdsats till analysens fundamentalsats är följande: Om vi definierar F (x) = f (g(x))g (x) − f (h(x))h (x).
5.2. Substitutionsmetoden och area av plana områden (5.6&5.7).
• Man bör kunna de elenentära integralerna på sid 334 utantill (åtminstone alla utom 11-14).
• För att beräkna en integral R f (u)du kan man göra en substitution (variabelbyte) u = g(x), och man får du = g (x)dx och integralen blir istället R f (u)du = R f (g(x))g (x)dx.
• I en definit integral måste man komma ihåg att även ändra integrationsgränserna: • Man kan räkna ut arean av områden mellan funktionskurvor genom att integrera differensen. Kom ihåg bara att arean alltid är positiv så ibland måste man ta till absolutbelopp eller ändra tecken.
Lämpliga uppgifter: (sid 347) 4,5-8, 11-14,15, 17-18, 23-26.
6.1. Partiell integration. En viktig metod för att beräkna integraler är partiell integration, vilket i prin-cip följer av produktregeln för derivering: (UV ) (x) = U (x)V (x) +U (x)V (x), vilket ger följande: Vissa tumregler kan vara bra att tänka på när man använder partiell integration: • Polynom går bra att derivera (eftersom de försvinner tillslut)• Trigonometriska funktioner och exponentialfunktioner går (ofta) bra att integrera.
• Om man integrerar eller deriverar trigonometriska funktioner får man ibland tillbaka samma in- tegral (helst med en konstant= 1 framför). Det kan också vara användbart.
6.2. Inversa substitutioner. I det här fallet skriver man oftast x = g(u) och därför kallas dessa substi-tioner för inversa. Det finns några stycken standardsubstitutioner man bör lära sig utantill: a2 − x2, −a ≤ x ≤ a så sätter man x = a sin θ med − π ≤ Invers tangens: Om integranden innehåller a2 + x2 sätter man x = a tan θ, och får Invers rot: Om integranden innehåller p ax + b så sätter man u = p ax + b, dvs ax + b = up, vilket ger Tangens halva: Om integranden är en rationell funktion av cos θ och sin θ kan man använda och den slutliga integranden blir alltså en rationell funktion av x.
6.3. Rationella funktioner. Vi ska nu beräkna integraler av typen Dessa kan vi beräkna systematiskt genom följande regler: om gradP ≥grad Q, gör polynomdivision.
om gradP <gradQ men gradQ > 2, gör partialbråksuppdelning så du får linjära och kvadratiskatermer i nämnaren.
integrera de resulterande rationella funktionerna med gradQ = 1 eller 2, antingen direkt medhjälp av logaritmer eller kända integraler eller i flera steg med variabelsubstition.
6.4. Generaliserade integraler. Förut betraktade vi “snälla” integraler R b f (x)dx där f är kontinuerlig i det begränsade intervallet [a, b].
Det finns två olika typer av generaliserng av detta: Integral över oändligt intervall, t.ex: f är inte definierad eller obegränsad i det slutna intervallet [a, b],t.ex i punkten a: Om man inte kan beräkna en integral kan man ändå ibland ta reda på om den konvergerar eller inte genomatt jämföra med en annan integral.
Sats: Om 0 ≤ f (x) ≤ g(x) på intervallet [a, b] (ej nödvändigtvis ändligt) så gäller: (dvs om integralen av g konvergerar så gör integralen av f det också).
Lämpliga uppgifter: (sid 404) 1-10, (sid 405) 4-6, samt (sid 406) C.P:1.
Avgör om följande integraler konvergerar eller divergerar: I alla nedanstående exempel på rotationskroppar och ytor ska man kunna härleda formlerna genom atttänka i termer av volymelement och areaelement.
7.1. Skivformeln. Om man har en 3-dimensionell kropp K som har känd snittarea A(x) för varje planskärning av K vinkelrätt mot en viss linje och lägger en x-axel längs denna linje kan man räkna ut volymenav K, V som där a och b utgör den först resp. sista skärningspunkten med K längs med linjen.
7.2. Rotationsvolymer kring x-axeln. Om vi har en kropp K som begränsas av att man kring x-axelnroterar en kurva y = f (x) för a ≤ x ≤ b samt två plan vinkeöräta mot x-axeln vid x = a samt x = b så gesvolymen av K, V av Detta brukar även kallas skivmetoden.
7.3. Rotationsvolymer kring y−axeln. Om vi har en kropp K som begränsas av att man kring y-axelnroterar en kurva y = f (x) för a ≤ x ≤ b samt xz-planet oxh två cylindriska väggar vid x = a samt x = bmed höjder f (a) resp. f (b) så ges volymen av K, V av Detta brukar även kallas skalmetoden.
Om man i de ovanstående fallen har volymer som begränsas av två funktioner f (x) och g(x) får mannaturligtvis f (x)2 − g(x)2 samt x( f (x) − g(x)) som integrander i respektive fall.
7.4. Båglängd och ytarea. Om en kurva i planet ges på parameterform som γ(t) = (x(t), y(t)), t0 ≤ t ≤ t1så ges längden av kurvan av där ds = ds(t) är bågelementet längs kurvan. Med hjälp av koordinatfunktionerna (x, y) = (x(t), y(t)) kanman uttrycka ds som ds = x (t)2 + y (t)2dt och längden av kurvan blir Om kurvan ges som y = f (x), a ≤ x ≤ b får man ds = 1 + f (t)2dt och längden av kurvan ges av 7.5. Area av rotationsytor. Om man har en yta S som ges av att man roterar en kurva y = f (x), a ≤ x ≤ bkring x-axeln så har S arean och om man roterar kring y-axeln får man arean Lämpliga uppgifter: (sid. 416) 5-10. 15-16. (sid 420-421) 1-4. (sid. 428) 4-7, 12.
Teckna ett integraluttryck för volymen av den kropp som bildas då områdetroterar kring x-axeln.
Använd skivmetoden för att teckna ett integraluttryck för volymen av den kroppsom bildas då området roterar kring y-axeln.
Använd skalmetoden för att teckna ett integraluttryck för volymen av den kroppsom bildas då området roterar kring y-axeln.
Beräkna volymen av den kropp som bildas då området roteras kring y-axeln(använd något av de föregående integraluttrycken).
Avsnitt: Appendix IV, kapitel 7.9 och kapitel 3.7 i femte upplagan, eller kapitel 17 i tidigare upplaga.
8.1. Separabla ekvationer. En separabel differentialekvation är en ODE av första ordningen som kanskrivas på formen i vilken man kan separera variablerna x och y till vilket ger ett samband mellan x och y (en implicit lösning) eller y som en funktion av x (en explicitlösning).
8.2. Linjära första ordningens ekvationer. en linjär första ordningens diffekvation ser ut som Denna löses t.ex. med hjälp av en integrerande faktor µ(x). En integrerande faktor är något vi multi-plixerar hela ekvationen med och som gör så att vi kan tolka vänsterledet som en derivata av en produkt,dvs Om detta ska ge ekvationen ovan måste µ = p(x), dvs ln µ = R p(x)dx, eller Multiplicerar vi (*) med denna funktion får vi alltså ekvationen Försök lära dig principen, inte formeln! (Dvs principen är att man vill ha en derivata ev en produkt påvänstersidan).
8.3. Andra ordningens linjära ODE med konstanta koefficienter.
8.3.1. Den homogena ekvationen. Den homogena ekvationen, löser vi genom att hitta rötterna till den karakteristiska ekvationen p(r) = r2 + ar + b = 0, låt dessa varar1och r2 då är den allmänna lösningen till ovanstående ekvation För att få lösningar på reell form om man har lösningarna r = α ± iβ kan man använda formeln e(α+iβ) =eα(cos β + i sin β).
8.3.2. Partikulärlösningar. Den inhomogena ekvationen löser man genom att dels hitta en allmän lösning till den homogena ekvationen med högerled 0 enligtovan, och dels hitta en lösning till ekvationen med högerled h(x). Beroende på h(x) gör man olikaansatser. Det finns ett par enkla grundregler: • Om h(x) innehåller polynom, p(x), exponentialfunktioner, eαx, trigonometriska funktioner, sin βx, cos βx eller kombinationer av dessa så ansätter man en partikulärlösning av samma typ.
• Om h(x) innehåller eαx (eller sin / cos βx) och eαx(resp. sin / cos βx) dessutom löser den ho- mogena ekvationen så ansätter man samma sak men multiplicerat med x (x2om α eller β är endubbelrot till den karakteristiska ekvationen). I allmänhet kan man, om en ansats inte fungerar,alltid pröva att multiplicera ansatsen med x.
8.4. Begynnelse- och randvärdesproblem. Konstanter som dyker upp i samband med lösande av dif-ferentialekvationer kan bestämmas om man har olika villkor på y. I allmänhet måste man ha lika mångavillkor som man har derivator i diffekvationen för att få en entydig lösning. villkoren på y är av två typer: • I begynnelsevärdesproblem har man y(0) = y0, y (0) = y1, y (0) = y2 etc.
• I randvärdesproblem har man istället t.ex. y(0) = y0 och y(1) = y1 (om problemet är i intervallet 5:e upplagan (sid. 228-229) 1-8,13-17, 35-40 (sid. 472) 1-4,11-14, 17-20.
4:e upplagan, kapitel 17: (sid 988, exc 17.2) 1-8, (sid 994, exc 17.4) 1-6, (sid. 1015, exc. 17.7: 1-8,13-17, (sid. 1021, exc. 17.8) 1-10.
En cylinderformad burk med höjd 10m och radie 4m tappas via en kran i botten. Volymenvatten i burken vid tiden t ges av funktionen V (t) och volymsförändringen ges av ekvationen där h(t) är vattenhöjden i burken och k är en konstant.
Om burken är halvfull tar det 60s att tömma den. Hur lång tid tar det om burken är full? Bestäm särskilt den lösning som uppfyller y(1) = 0. (030217:3) En tank innehåller 400l klorlösning med en koncentration på 0.05g/l. Rent vatten pumpasin med en hastighet av 6l/min. Klorlösningen blandas om konstant, och innehållet pumpasut med en hastighet på 10l/min.
a) Ställ upp en differentialekvation för bestämning av klormängden i tanken somfunktion av tiden.
Beskriv två olika metoder för att lösa ekvationen.
Bestäm den lösning till y − y − 2y = 0 som har en extrempunkt i (0, 6). Är extrempunktenen max eller minpunkt? Avsnitt i boken: 9.1-9.6 (se även vissa exempel, spec. exempel 3 i 9.7) Definition, konvergens: Om vi har en följd {a 9.1. Konvergens. Om sn → s då n → ∞ säger vi att serien konvergerar, ∑ ak < ∞. Om dessutom ∑ |ak| <∞kallas serien absolut konvergent. En serie som är konvergent men inte absolut konvergent kallas betingat(eller villkorligt) konvergent.
Integralkriteriet: Antag att f (x) är positiv och avtagande i ett intervall [n0, ∞). Då gäller Jämförelsekriterier: Antag att ∑ akoch ∑ bkär positiva serier. Då gäller1) om det finns C s.a. an ≤ Cbn (för stora n > N) så gäller om det finns ett C > 0 s.a. an ≥ Cbn (för stora n > N) så gäller att om ∑ bndivergerardivergerar även ∑ an.
Alternerande serier: Om ∑ akär alternerande (dvs akak+1 < 0 för alla k) och ak → 0 monotont,dvs |ak| > |ak+1| för alla k då konvergerar ∑ ak.
konvergerar om A < 1 och divergerar om A > 1.
∑ an är en positiv serie , och att limn→ konvergerar om A < 1 och divergerar om A > 1.
n=1 n konvergerar så måste an → 0 då n → ∞ (dvs om lim an = 0 så divergerar ∑ an).
9.3. Standardserier att jämföra med.
xk = 1 om |x| < 1 (geometriska serien) 9.4. Potensserier. Om f (x) = ∑ anxn är en potensserie gäller antingen att det finns ett R s.a. serienkonvergerar för alla x med |x| < R och divergerar för alla |x| > R, eller så konvergerar serien för alla x.
Vi har även följande sats: ∑ anxn har konvergensradie R då gäller att limn→ Derivering: Om f (x) = ∑ anxn med konvergensradie R så gäller att f (x) = ∑ nanxn−1 för |x| < R.
Lämpliga problem: Review exc (sid 589-590) 1-22, 27-30 a) Ge exempel på en geometrisk serie där alla termer är positiva och summan är 5.
c) Bestäm om följande två serier är konvergenta/absolutkonvergenta/villkorligt konver- Är följande serier konvergenta eller divergenta? Undersök om följande serier är konvergenta:

Source: http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~stroemberg/pub/repetition.pdf